Linköping–Edinburgh–Uppsala

If you are the kind of person who reads the lists of decisions from Formas, you may already know this. In March, I’m starting a new postdoc position, in collaboration with John Hickey’s AlphaGenes group at the Roslin Institute in Edinburgh and Dirk-Jan de Koning’s group at the Swedish University of Agriculture in Uppsala, funded by a mobility starting grant for young researchers from the research council Formas. Hurrah!

The project involves using huge datasets from livestock animals to search for genes and variants underlying quantitative traits. In that sense, for me, this is both a new direction (animal breeding research) and a natural continuation (the genetic basis of quantitative traits). So, in the coming years I anticipate, among other things, learning a ton about computational quantitative genetics; meeting and working with great people; travelling more than ever (relative to my relatively low baseline); writing a poem or two about the scenic environs of Edinburgh and the Royal Mounds of Uppsala; figuring out the across-borders relationship thing; discovering new and useful things about quantitative traits; and hopefully picking up a bit of a Scottish tone in my otherwise Swenglish accent.

Linköping has been very good to me, and so have my colleagues in the Wright lab and AVIAN Behavioural Genetics and Physiology group. So, naturally, I’m both happy and sad to leave. Friends in Linköping, we will meet again.

Also, happy new year!

20170101_150010

(Me holding a sign that says (in Swedish): ”Thank you, Formas! I will do my very best.”)

Den sura genetikern

Häromveckan skrev jag något kritiskt om vetenskap i medier. Det gör jag inte så ofta längre.

Det var en post om genetisk variation i MAOA-genen som kopplats till antisocialt beteende (med mera med mera) och dokumentären ”Ditt förutbestämda liv” som SVT sände ganska nyligen. Den går inte att se på SVT Play längre, men det finns en trailer i alla fall.

En gång i tiden så brukade jag läsa DN:s och SR:s vetenskapssidor och om jag hittade något intressant slå upp originalartiklarna, leta reda på pressmeddelanden, artiklar i engelskspråkiga tidningar som stått som förebild och så vidare. Ibland skrev jag kritiska brev och ibland postade jag länkar till originalartiklar, så de plockades upp av någon aggregator och länkades från nyhetsartikeln. Det var oskyldigare webbtider när nyhetstidningar var villiga att länka ogranskade bloggposter från sina artiklar. Men jag har nästan slutat med det, och när jag skriver något kritiskt gör det mig alltid lite nervös. Det är av flera anledningar:

1. Är det så viktigt att det är rätt?

Jag har förstås skaffat mig en massa onödigt bestämda åsikter om genetik, evolution och hur man bör uttrycka sig om dem. Det vore onödigt att tjafsa om alla dessa småsaker. Men jag tycker ändå att det är rimligt att kritisera beskrivningar av forskning som säger saker som inte är sanning, till exempel att ett par kandidatgenstudier från 2002-2003 är banbrytande och skriver om hela genetiken, eller att genetisk variation i MAOA är viktig för att förstå antisocialt beteende, när bevisen för det är i högsta grad skakiga. Dokumentären påstod till och med att Caspi et al 2003 (den om depression och serotonintransportgenen 5HTT) skulle vara en av världens mest refererade artiklar.

2. Tänk om jag har fel?

Det har jag ju ändå rätt ofta. Det finns en hel litteratur om MAOA, något tjog primärstudier eller så. De är, som jag skrev, en blandad kompott av positiva och negativa resultat (Foley & al 2004, Huang & al 2004, Haberstick & al 2005, Huizinga & al 2006, Kim-Cohen & al 2006, Nilsson & al 2006, Widom, Spatz & Brzustowicz 2006, Young & al 2006, Frazzetto & al 2007, Rief & al 2007, van der Vegt & al 2009, Weder & al 2009, Beach & al 2010, Derringer & al 2010, Edwards & al 2010, Enoch & al 2010). Det tyder på att effekten är för liten eller för variabel i förhållande till stickprovsstorleken. Knäckfrågan i det här fallet, som behövs för att kunna utvärdera både originalstudien och uppföljarna är: Om det nu skulle finnas en interaktion mellan varianter av MAOA och en dålig uppväxt, hur stor skulle den vara då? Tyvärr är det inte så lätt att veta.

Om vi skulle försöka oss på att rita en styrkekurva för interaktionen mellan MAOA och dålig uppväxt (Caspi & al 2002), det vill säga hur stor sannolikhet en studie av den här storleken har att hitta en effekt, så måste vi gissa vad en realistisk effekt skulle kunna vara. Artikeln gör en rad jämförelser, men om vi ska välja en så tycker jag det är rimligt att ta skillnaden mellan de som har riskvarianter och som inte blivit illa behandlade och de som har den och har blivit gravt illa behandlade under uppväxten. Om riskvarianter av MAOA verkligen gör människor mer sårbara för att bli illa behandlade under barndomen, så borde den här jämförelsen visa det. Vi behöver också välja en av variablerna att koncentrera oss på. Varför inte uppförandestörning (conduct disorder), vilket måste vara den som nämns i dokumentären.

Om vi simulerar data med olika oddskvoter (x-axeln; OR står för ”odds ratio”) och ritar en styrkekurva blir resultatet ungefär så här. (Obs, jag har läst av siffrorna från ett av diagrammen i artikeln. De är nog bara ungefär rätt.) Det vill säga, om vi antar samma andel ”gravt illa behandlade” individer och samma stickprovsstorlek, så ökar sannolikheten att hitta ett statistiskt signifikant resultat ungefär så här:

maoa_power

Det vill säga, den är inte särskilt stor. Vilka effektstorlekar kan vara rimliga? I samma artikel skattar de oddskvoten kopplad till att bli illa behandlad (hos de utan riskvarianten, och de är betydligt fler) till 2.5 för gravt illa behandlade och 1.3 för ”sannolikt” illa behandlade. Ficks & Waldman (2013) gjorde en metaanalys av studier med MAOA och antisocialt beteende (utan att ta hänsyn till interaktioner) och fick en oddskvot på 1.2. Rautiainen et al (2016) har gjort en helgenomsanalys av aggression hos vuxna och den största effekt de hittar är ungefär 2.2.

Men problemet med låg styrka är inte bara att det är svårt att få ett statistiskt signifikant resultat om det finns en stor och riktig skillnad. För om man, mot alla odds, hittar ett statistiskt signifikant resultat, hur stor ser effekten ut att vara? Den ser, med nödvändighet, ut att vara jättestor. Det här diagrammet visar den skattade effekten i simuleringar där resultatet var statistiskt signifikant (på 5%-nivån):

maoa_exaggeration

Men visst, det är förstås möjligt att de ursprungliga studierna hade tur med sina handfullar människor, att de som misslyckades med att detektera någon interaktion hade otur, och att MAOA-varianter kommer visa sig ha stora reproducerbara effekter när det efter hand börjar komma helgenomstudier som inkluderar interaktioner med miljövariabler. Jag håller inte andan.

(Koden bakom diagrammen finns på github. Förutom osäkerheten om vilken jämförelse som är den mest relevanta, så beror styrkan hos logistisk regression också på den konstanta termen, oddsen för beteendeproblem hos de som saknar riskvarianten. De är något fler än de som har den, men det är ändå en skattning med stor osäkerhet. Här har jag bara stoppat in den skattning jag fått ur data utläst ur diagrammet i Caspi & co 2002.)

3. Vill jag verkligen ha rollen som den professionella gnällspiken?

”Det finns en i varje familj. Två i min faktiskt.” Och det finns minst en på varje vetenskaplig konferens, i varje hörn av den vetenskapliga litteraturen, och på vetenskapsbloggar här och där … Alltså, någon som gjort det till sin uppgift att protestera, gärna med hög röst och blommigt språk, varje gång någon inte gör någon viss vetenskaplig idé rättvisa. Det finns förstås ett värde i kritik, och ingen har någon plikt att komma med ett bättre alternativ när de framför välgrundad kritik. Men det är ändå inte den skojigaste rollen, och det är inte riktigt vad jag vill viga mitt liv åt.

Så, varför inte skriva om något med arv och miljö som jag gillar? Här är en artikel jag såg publiceras ganska nyligen om förhållandet mellan arv, miljö och risk — i det här fallet handlar det om hjärtsjukdom.

Khera, Amit V., et al. ”Genetic Risk, Adherence to a Healthy Lifestyle, and Coronary Disease.” New England Journal of Medicine (2016).

Den här studien vinner, ur mitt perspektiv, på att den inte bara koncentrerar sig på en enda gen, utan kombinerar information från varianter av ett gäng (femtio) gener där varianter tidigare kopplats till risk för hjärtsjukdom. När det gäller komplexa egenskaper som påverkas av många genetiska varianter är det här en mycket bättre idé. Det är antagligen till och med en nödvändighet för att dra några meningsfulla slutsatser om genetisk risk. De kombinerar också ett antal miljövariabler som antas påverka risken för hjärtsjukdom, det vill säga mer eller mindre hälsosamma vanor.

(Artikeln är tillgänglig gratis men inte licensierad under någon rimlig licens, så jag visar inte det diagram från artikeln jag skulle vilja visa här. Klicka på länken och titta på ”Figure 3” om du vill se det.)

Själva sensmoralen i ”Ditt förutbestämda liv” var att gener i och för sig spelar roll, men att en bra uppväxt är bra för alla. Det kan i och för sig gömma sig gen–miljöinteraktioner under de additiva effekter som den här studien bygger på, men sensmoralen blir ändå densamma: ett hälsosamt leverne verkar vara bra för alla, även de som haft otur med sina genetiska varianter och fått hög genetisk risk.

4. Det känns orättvist mot de som försökt kommunicera vetenskap, och kanske kontraproduktivt.

Tack och lov behöver jag sällan skriva om saker som är särskilt långt ifrån det jag är utbildad inom. Vetenskapsjournalister och -reportrar gör det desto oftare, och dessutom på begränsad tid. Oftast gäller det dessutom forskning som är alldeles ny, och därför extra svår att utvärdera. Men i det här fallet gäller det faktiskt forskning som är över tio år gammal, och både de som gjorde dokumentären och Vetenskapens värld som valde dess inramning i SVT misslyckades helt, tycker jag, med att sätta den i perspektiv. Jag vet inte om det är författarna själva eller dokumentärmakarna som är orsak till att vinkeln var enastående genombrott som inte behöver ifrågasättas eller nyanseras. Kanske är det orättvist att kräva av Vetenskapens värld-redaktionen att de ska anlägga ett annat perspektiv än dokumentären de valt att sända. Eftersom att jag gärna vill vill att reportrar och journalister ska skriva entusiastiskt om genetisk forskning (inklusive helst min egen), så tvekar jag lite att skriva ner dem med arga brev. Förhoppningsvis tar de inte allt för illa upp.

Litteratur

Ficks, Courtney A., and Irwin D. Waldman. ”Candidate genes for aggression and antisocial behavior: a meta-analysis of association studies of the 5HTTLPR and MAOA-uVNTR.” Behavior genetics 44.5 (2014): 427-444.

Rautiainen, M. R., et al. ”Genome-wide association study of antisocial personality disorder.” Translational Psychiatry 6.9 (2016): e883.

Khera, Amit V., et al. ”Genetic Risk, Adherence to a Healthy Lifestyle, and Coronary Disease.” New England Journal of Medicine (2016).

(Samt en massa kandidatgenstudier om MAOA som jag länkar ovan.)

Reviewing, postscript

Later the same day as the post on reviewing was published, I saw the paper by Kovanis and coworkers on the burden of peer review in biomedical literature. It’s silly of me that it didn’t occur to me to look for data on how many papers researchers review. Their first figure shows data on the number of reviews performed 2015 by Publons users:

kovanis_reviewers_figure

Figure 1B from Kovanis & al (2016) PLOS ONE (cc:by 4.0).

If we take these numbers at face value (but we probably shouldn’t, because Publons users seem likely to be a bised sample of researchers), my 4-6 reviews in a year fall somewhere in the middle: on the one hand, more than half of the researchers review fewer papers, but it’s a lot less than those who review the most.

This paper estimates the supply and demand of reviews in biomedical literature. The conclusion is lot like the above graph: reviewer effort is unevenly distributed. In their discussion, the authors write:

Besides, some researchers may be willing to contribute but are never invited. An automated method to improve the matching between submitted articles and the most appropriate candidate peer reviewers may be valuable to the scientific publication system. Such a system could track the number of reviews performed by each author to avoid overburdening them.

This seems right to me. There may be free riders who refuse to pull their weight. But there are probably a lot more of people like me, who could and would review more if they were asked to. A way for editors to find them (us) more easily would probably be a good thing.

Morning coffee: reviewing

20160417_125609

(It was a long time since I did one of these posts. I’d better get going!)

One fun thing that happened after I received my PhD is that I started getting requests to review papers, four so far. Four papers (plus re-reviews of revised versions) in about a year probably isn’t that much, but it is strictly greater than zero. I’m sure the entertainment value in reviewing wears off quite fast, but so far it’s been fun, and feels good to pay off some of the sizeable review debt I’ve accumulated while publishing papers from my PhD. Maybe I’m just too naïve and haven’t seen the worst parts of the system yet, but I don’t feel that I’ve had any upsetting revelations from seeing the process from the reviewer’s perspective.

Of course, peer review, like any human endeavour, has components of politics, ego and irrationality. Maybe one could do more to quell those tendencies. I note that different journals have quite different instructions to reviewers. Some provide detailed directions, laying out things that the reviewer should and shouldn’t do, while others just tell you how to use their web form. I’m sure editorial practices also differ.

One thing that did surprise me was when an editor changed the text of a review I wrote. It was nothing major, not a case of removing something inappropriate, but rewording a recommendation to make it stronger. I don’t mind, but I feel that the edit changed the tone of the review. I’ve also heard that this particular kind of comment (when a reviewer states that something is required for a paper to be acceptable for publication) rubs some people the wrong way, because that is up to the editor to decide. In this case, the editor must have felt that a more strongly worded review was the best way to get the author to pay attention, or something like that. I wonder how often this happens. That may be a reason to be even more apprehensive about signing reviews (I did not sign).

So far, I’ve never experienced anything else than single-blind review, but I would be curious to review double-blinded. I doubt the process would differ much: I haven’t reviewed any papers from people I know about, and I haven’t spent any time trying to learn more about them, except in some cases checking out previous work that they’ve referenced. I don’t expect that I’d feel any urge to undertake search engine detective work to figure out who the authors were.

Sometimes, there is the tendency among scientists and non-scientists alike to elevate review to something more than a couple of colleagues reading your paper and commenting on it. I’m pretty convinced peer review and editorial comments improve papers. And as such, the fact that a paper has been accepted by an editor after being reviewed is some evidence of quality. But peer review cannot be a guarantee of correctness. I’m sure I’ve missed and misunderstood things. But still, I promise that I’ll do my best, and I will not have the conscience to turn down a request for peer review for a long time. So if you need a reviewer for a paper on domestication, genetic mapping, chickens or related topics, keep me in mind.

Den ökända krigargenen möter Vetenskapens värld

SVT:s Vetenskapens värld sände nyligen (17 oktober, ”Ditt förutbestämda liv”) ett program om beteendegenetik. Det handlar om en studie i Dunedin, Nya Zeeland, som kopplar varianter av vissa gener, i kombination med påfrestande händelser under livets gång, till antisocialt beteende, depression med mera. SVT och dokumentären presenterar den som ”en oerhörd studie” som ”skrivit om den klassiska frågan om arv och miljö och visat att kombinationen är det avgörande”. Men det är snarare en stilstudie i hur välmenande forskare kan ha otur, dra förhastade slutsatser och skapa ett nystan av överdrifter. Otur och otur, förresten, för dem själva ledde det ju till berömmelse och dokumentärer som når ända till Sverige. Men för vetenskapen om den genetiska grunden för beteende var det ändå mest otur.

På 00-talet, när studierna ifråga publicerades, var beteendegenetiker väldigt optimistiska om vad som krävdes för att hitta gener som förklarar komplexa egenskaper, till exempel våldsamt beteende, depression med mera. Många trodde att det räckte att göra som i Dunedin, samla in data från kanske 1000 individer och välja ut en gen, en så kallad ”kandidatgen”, att studera. Komplexa egenskaper, som mänskligt beteende, kan visst ha en avsevärd ärftlig komponent. Men den består av hundratals, kanske tusentals, okända genetiska varianter med små effekter. Dagens genetik har gått vidare till att studera tiotusentals eller hundratusentals individer för att ha en chans att hitta några varianter, och till att studera alla gener samtidigt istället för att försöka gissa vilka kandidatgener som är viktiga.

Men tusen människor, hör jag er protestera, det är väl ändå många? I fallet MAOA tittar de bara på män, så där ryker hälften. Sedan är det ungefär en tredjedel av dem som har riskvarianten, och en bråkdel av dem som haft en dålig uppväxt. I dokumentären låter kopplingen mellan MAOA, dålig uppväxt och antisocialt beteende så övertygande. Richie Poulton, en av författarna, säger: ”Om man tittar på de killar som har riskvarianten av genen och som blev gravt illa behandlade, så uppvisade hela 85% av dem någon form av antisocialt beteende när de blivit vuxna [min översättning].” I själva verket, om man läser artikeln, så består gruppen han talar om – män med riskvarianten som blivit gravt illa behandlade under uppväxten – av 13 individer. De 85% han talar om är alltså elva män. Hur många av dem hade, enligt originalartikeln dömts för något våldsbrott vid 26 års ålder? Svaret är fyra. Med ett stickprov på 13 människor får man inga bra mått på vad riskvarianten har för effekt. Man får brus.

Och brus är precis vad som kommer ur kandidatgenstudier inom psykiatrisk genetik. Det går till ungefär så här: Någon hittar en kandidatgen i en liten studie, dåförtiden med stor buller och bång. Sedan kommer dussintals liknande studier med motsägelsefulla resultat. Ibland hittar de något liknande, ibland inte. Ibland hittar de en effekt på något annat: en interaktion med något nytt, en annan vagt relaterad egenskap. Efter hand börjar folk göra meta-analyser, som lägger ihop resultaten från många studier. De visar på stor variation och små effekter. Och så går det vidare. När det till slut börjar komma studier med större urval, som tittar på hela arvsmassan, så syns det (med några lysande undantag som apolipoprotein E) oftast inte ett spår av kandidatgenerna.

Men visst, ingen har tittat efter varianter i hela genomet med just de gen–miljöinteraktioner som var i Dunedinstudien. Och associationsstudier av hela genomet har hittills bara hittat varianter som kan förklara en bråkdel av den genetiska variationen. Så de gamla kandidatgensfavoriterna kanske också gömmer sig där ute, även om det inte ser ut så. Oavsett är det klart att de inte kan vara mer än en bråkdel av förklaringen, och att metoden att gissa kandidatgener och testa dem i små stickprov inte fungerar något vidare. Men på teve och i pressmeddelanden finns det aldrig komplikationer eller negativa resultat. Därför är MAOA också känd som ”the warrior gene”. Den är ett perfekt provokativt exempel att ta upp när man vill säga att människor är stenhårt programmerade av evolutionen att bete sig på ett visst sätt. Eller, som i den här dokumentären, när man vill komma ett mer humanistiskt budskap om hur uppväxten kan övervinna generna.

Författarna och dokumentärmakarna har såklart rätt i att både arv och miljö spelar roll för komplexa egenskaper. De har kanske till och med rätt att gen–miljöinteraktioner, där effekten av en viss genetisk variant bara visar sig under speciella miljöförhållanden, är viktiga. Men de har fel i att varianter i MAOA spelar en avgörande roll. Om MAOA-varianten har någon effekt alls, vilket inte ens är säkert, så är den bara en variant med liten effekt bland hundratals andra. Resultat som MAOA-associationen i Dunedin är inte några genombrott som skakar beteendegenetiken i grunden. De är ärliga misstag från en ung vetenskap som för 15 år sedan ännu inte hade lärt sig hur svårt det är att hitta gener som förklarar komplexa egenskaper. Istället för att älta dem är det dags att lämna kandidatgenerna bakom sig och gå vidare.

(Det här inlägget är lite försenat, för jag försökte få en kortare version av den här texten publicerad. Jag vet inte vad jag tänkte där. SVT Vetenskap har inte heller svarat. Den som läste den blev väl stött, eller avskrev den ungefär som en arg insändare. Nåja. Efter själva programmet var det ett par svenska forskare som fick vara med och prata lite. De var nog bra på sina ämnen, men ingen av dem verkade veta särskilt mycket om genetik, och sa inget kritiskt om själva innehållet. Ingen kritiserade heller det orimliga skrytet som dokumentären var full av. Jag förstår att jag framstår som en surgubbe nu, men det kan inte hjälpas.)

Litteratur

Caspi et al. (2002) ”Role of genotype in the cycle of violence in maltreated children.” Science

Caspi et al. (2003) ”Influence of life stress on depression: moderation by a polymorphism in the 5-HTT gene.” Science.

Paper: ”Feralisation targets different genomic loci to domestication in the chicken”

It is out: Feralisation targets different genomic loci to domestication in the chicken. This is the second of our papers on the Kauai feral and admixed chicken population, and came out a few days ago.

The Kauai chicken population is kind of famous: you can find them for instance on Flickr, or on YouTube. We’ve previously looked at their plumage, listened to the roosters’ crowings, and sequenced mitochondrial DNA to investigate their origins. Based on this, we concur with the common view that the chickens of Kauai probably are a mixture of feral birds of domestic origin and wild Junglefowl. The Kauai chickens look and sound like a mix of wild and domestic, and we found mitochondrial DNA of two haplogroups, one of which (called D) is typical in ancient chicken DNA from Pacific islands (Gering et al 2015).

In this paper, we looked at the rest of the genome of the same chickens — you didn’t think we sequenced the whole thing just to look at the mitochondrion plus a subset of markers, did you? We turn to population genomics, and a family of methods called selective sweep mapping, to search for regions of their genome that show signs of being affected by natural selection. This lets us: 1) draw pretty rainbow plots such as  this one …

kauai2_fig1a

(Figure 1a from the paper in question, Johnsson & al 2016. cc:by The chromosomes have been laid out on the horizontal axis with different colours, and split into windows of 40 kb. Each dot represents the heterozygosity of that windows. For all the details, see the paper.)

… 2) highlight a regions of the genome that may have been selected during feralisation on Kauai (these are the icicles in the graph, highligthed by arrows); 3) conclude that the regions that look like they’ve been selected in feralisation overlap very little with the ones that look like they’ve been selected in chicken domestication. Hence the title.

That was the main result, but of course we also look at what genes are highlighted. Mostly we have no idea how they may contribute to feralisation, but a couple of regions overlap with those that we’ve previously found in genetic mapping of comb size and egg laying in our wild-by-domestic intercross. We also compare the potentially selected regions to domestic chicken sequences.

Last year, Ewen Callaway visited Dominic Wright, Eben Gering and Rie Henriksen on the last fieldtrip to Kauai. The article, When chickens go wild, was published in Nature News in January, and it explains a lot of the ideas nicely. This paper was submitted by then, so the samples they gathered on that trip do not feature in it. But, spoiler alert: there is more to come. (I don’t know what role I personally will play, but that is less important.)

As you may have guessed if you looked at the author list, this was a collaboration between quite a lot of people in Linköping, Michigan, London, and Victoria. Thanks to all involved! This was great fun, and for those of you who like this sort of thing, I hope the paper will be an interesting read.

Literature

M. Johnsson, E. Gering, P. Willis, S. Lopez, L. Van Dorp, G. Hellenthal, R. Henriksen, U. Friberg & D. Wright. (2016) Feralisation targets different genomic loci to domestication in the chicken. Nature Communications. doi:10.1038/ncomms12950

Balancing a centrifuge

I saw this cute little paper on arxiv about balancing a centrifuge: Peil & Hauryliuk (2010) A new spin on spinning your samples: balancing rotors in a non-trivial manner. Let us have a look at the maths of balancing a centrifuge.

The way I think most people (including myself) balance their samples is to put them opposite of each other, just like Peil & Hauryliuk write. However, there are many more balanced configurations, some of which look really weird. The authors generate three balanced configurations with increasing oddity, show them to researchers and ask them whether they are balanced. About half, 30% and 15% of them identified each configuration as balanced. Here are the configurations:

configuration_plot
(Drawn after their paper.)

Take a rotor in a usual bench top centrifuge. It’s a large, in itself balanced, piece of metal with holes to put microcentrifuge tubes in. We assume that all tubes have the same mass m and that the holes are equally spaced. The rotor will spin around its own axis, helping us separate samples and pellet precipitates etc. When the centrifuge is balanced, the centre of mass of the samples will be aligned with the axis of rotation. So, if we place a two-dimensional coordinate system on the axis of rotation like so,

koordinater

the tubes are positioned on a circle around it:

x_i = r \cos {\theta_i}
y_i = r \sin {\theta_i}

The angle to each position in the rotor will be

\theta(i) = \dfrac{2\pi(i - 1)}{N}

where i is the position in question, starting at 1, and N the number of positions in the rotor. Let’s label each configuration by the numbers of the positions that are occupied. So we could talk about (1, 16)30 as the common balanced pair of tubes in a 30-position rotor. (Yeah, I know, counting from 1 is a lot more confusing than counting from zero. Let’s view it as a kind of practice for dealing with genomic coordinates.)

We express the position of each tube (treated as a point mass) as a vector. Since we put the origin on the axis of rotation, these vectors have to sum to zero for the centrifuge to be balanced.

\sum \limits_{i} {m\mathbf{r_i}} = \mathbf{0}

Since the masses are equal, they can be removed, as can the radius, which is constant, and we can consider the x and y coordinates separately.

\left(\begin{array}{c} \sum \limits_{i} {\cos {\theta(i)}} \\ \sum \limits_{i} {\sin {\theta(i)}} \end{array}\right) = \left(\begin{array}{c} 0 \\ 0 \end{array}\right)

For the (1, 16)30 configuration, the vectors are

\left(\begin{array}{c} \cos {\theta(1)} \\ \sin {\theta(1)} \end{array}\right) + \left(\begin{array}{c} \cos {\theta(16)} \\ \sin {\theta(16)} \end{array}\right) = \left(\begin{array}{c} \cos {0} \\ \sin {0} \end{array}\right) + \left(\begin{array}{c} \cos {\pi} \\ \sin {\pi} \end{array}\right) = \left(\begin{array}{c} 1 \\ 0 \end{array}\right) + \left(\begin{array}{c} -1 \\ 0 \end{array}\right)

So we haven’t been deluding ourselves. This configuration is balanced. That is about as much maths as I’m prepared to do in LaTex in a WordPress blog editor. So let’s implement this in R code:

library(magrittr)
theta <- function(n, N) (n - 1) * 2 * pi / N
tube <- function(theta) c(cos(theta), sin(theta))

Now, we can look at Peil & Hauryliuk’s configurations, for instance the first (1, 11, 14, 15, 21, 29, 30)30

positions <- c(1, 11, 14, 15, 21, 29, 30)
tubes <- positions %>% lapply(theta, N = 30) %>% lapply(tube)
c(sum(unlist(lapply(tubes, function(x) x[1]))),
  sum(unlist(lapply(tubes, function(x) x[2]))))

The above code 1) defines the configuration; 2) turns positions into angles and then tube coordinates; and 3) sums the x and y coordinates separately. The result isn’t exactly zero (for computational reasons), but close enough. Putting in their third configuration, (4, 8, 14, 15, 21, 27, 28)30, we again get almost zero. Even this strange-looking configuration seems to be balanced.

I’m biased because I read the text first, but if someone asked me, I would have to think about the first two configurations, and there is no way I would allow a student to run with the third if I saw it in the lab. That conservative attitude, though not completely scientific, might not be the worst thing. Centrifuge accidents are serious business, and as the authors note:

Finally, non-symmetric arrangement (Fig. 1C) was recognized as balanced by 17% of researchers. Some of these were actually calculating moment of inertia, i.e. were coming to solution knowingly, the rest where basically guessing. The latter should be banished from laboratory practice, since these people are ready to make dangerous decisions without actual understanding of the case, which renders them extremely dangerous in the laboratory settings.

(Plotting code for the first figure is on Github.)